La fonction \(\tanh x\) est définie par : \[\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}.\] Effectuez l’analyse de cette fonction afin de pouvoir esquisser son graphique.
Solution.
Code
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# Création des donnéesx = np.linspace(-4, 4, 1000) # Intervalle de -4 à 4y = np.tanh(x)# Création de la figureplt.figure(figsize=(7.5, 6))# Tracé de la fonctionplt.plot(x, y, 'b-', label='tanh(x)')# Ajout des asymptotes horizontalesplt.axhline(y=1, color='r', linestyle='--', alpha=0.5, label='y = ±1')plt.axhline(y=-1, color='r', linestyle='--', alpha=0.5)# Ajout des axesplt.axhline(y=0, color='k', linestyle='-', alpha=0.3)plt.axvline(x=0, color='k', linestyle='-', alpha=0.3)# Configuration du graphiqueplt.grid(True, alpha=0.3)plt.title('Fonction tanh(x)')plt.xlabel('x')plt.ylabel('y')plt.legend()# Ajustement des limitesplt.ylim(-1.5, 1.5)plt.show()
Montrez que la fonction réciproque de \(\tanh x\), notée \(\text{arctanh}\,x\), peut s’exprimer par \[\text{arctanh}\,x = \ln \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}.\]
Solution. Montrons que \(\text{arctanh}\,x = \ln \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\). Posons \(y = \text{arctanh}\,x\). Par définition, cela signifie que \(x = \tanh y\). La fonction tanh est définie par : \[\tanh y = \frac{\sinh y}{\cosh y} = \frac{e^y - e^{-y}}{e^y + e^{-y}}.\] Donc nous avons que \(x = \dfrac{e^y - e^{-y}}{e^y + e^{-y}}\). Multiplions les deux membres par \((e^y + e^{-y})\) : \[x(e^y + e^{-y}) = e^y - e^{-y}.\] Développons : \[xe^y + xe^{-y} = e^y - e^{-y}.\] Regroupons les termes en \(e^y\) et \(e^{-y}\) : \[e^y(x-1) = e^{-y}(x+1).\] Donc : \[\frac{e^y}{e^{-y}} = \frac{x+1}{1-x}.\qquad(x\neq 1)\] Simplifions : \[e^{2y} = \frac{1+x}{1-x}.\] Prenons le logarithme naturel des deux côtés : \[2y = \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right).\] Donc : \[y = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) = \ln\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}.\] Puisque \(y = \text{arctanh}\,x\), nous avons bien \[\text{arctanh}\,x = \ln\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}.\]
Esquissez le graphique de \(\text{arctanh}\,x\).
Solution.
Code
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# Création des donnéesx = np.linspace(-0.99, 0.99, 1000) # On évite -1 et 1 car arctanh non définiy = np.arctanh(x)# Création de la figureplt.figure(figsize=(8, 6))# Tracé de la fonctionplt.plot(x, y, 'b-', label='arctanh(x)')# Ajout des axesplt.axhline(y=0, color='k', linestyle='-', alpha=0.3)plt.axvline(x=0, color='k', linestyle='-', alpha=0.3)# Ajout des asymptotes verticalesplt.axvline(x=1, color='r', linestyle='--', alpha=0.5, label='x = ±1')plt.axvline(x=-1, color='r', linestyle='--', alpha=0.5)# Configuration du graphiqueplt.grid(True, alpha=0.3)plt.title('Fonction arctanh(x)')plt.xlabel('x')plt.ylabel('y')plt.legend()# Ajustement des limites pour mieux voir les asymptotesplt.ylim(-4, 4)plt.xlim(-1.1, 1.1)plt.show()
Question 2
Exprimez \(\cosh(x+y)\) en fonction de \(\cosh x\), \(\cosh y\), \(\sinh x\) et \(\sinh y\).
Solution. Exprimons \(\cosh(x+y)\) en fonction de \(\cosh x\), \(\cosh y\), \(\sinh x\) et \(\sinh y\). Rappelons que \(\cosh(x+y)\) peut s’écrire en utilisant la forme exponentielle \[\cosh(x+y) = \frac{e^{x+y} + e^{-(x+y)}}{2}.\] Développons \(e^{x+y}\) et \(e^{-(x+y)}\) : \[\cosh(x+y) = \frac{e^x e^y + e^{-x} e^{-y}}{2}.\]
Rappelons les formules : \[\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \quad \text{et} \quad \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}.\] Donc : \[e^x = \cosh x + \sinh x \quad \text{et} \quad e^{-x} = \cosh x - \sinh x\] Substituons ces expressions dans notre équation : \[\cosh(x+y) = \frac{(\cosh x + \sinh x)(\cosh y + \sinh y) + (\cosh x - \sinh x)(\cosh y - \sinh y)}{2}.\] Développons les produits : \[\begin{align}
\cosh(x+y) &= \frac{1}{2}\left(\cosh x \cosh y + \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y + \sinh x \sinh y + \cosh x \cosh y\right.\\
&~\left.- \sinh x \cosh y - \cosh x \sinh y + \sinh x \sinh y\right).
\end{align}\] Regroupons les termes semblables : \[\cosh(x+y) = \frac{2\cosh x \cosh y + 2\sinh x \sinh y}{2}\] Simplifions : \[\cosh(x+y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y\] Nous avons donc la formule cherchée : \(\cosh(x+y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y\).
Question 3
Résolvez l’équation \(\sinh(2x) = 3\).
En déduire les solutions de l’équation \(\cosh(2x) = \sqrt{10}\).
Ces deux équations sont-elles liées ? Justifier votre réponse.
Solution.
Par définition, \[\sinh(2x) = \dfrac{e^{2x} - e^{-2x}}{2} = 3.\] On en déduit que \(e^{2x} - e^{-2x} = 6\). Posons \(y = e^{2x}\). Ainsi, \(y - \frac{1}{y} = 6\), d’où \(y^2 - 6y - 1 = 0\). On en déduit que \[y = 3\pm \sqrt{10}.\] Comme \(e^{2x} > 0\), on déduit que \(e^{2x} = 3 + \sqrt{10}\). En prenant le logarithme, on arrive à isoler \(x\) pour obtenir \[x = \frac{1}{2}\ln\left(3 + \sqrt{10}\right).\]
Utilisons l’identité \(\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1\), valable pour toute valeur de \(x\). Si \(\sinh(2x) = 3\), alors \(\cosh^2(2x) = 10\). Ainsi, \(\cosh(2x) = \pm\sqrt{10}\). Comme \(\cosh(x) \geq 1\) pour tout \(x\), \(\cosh(2x) = \sqrt{10}\). On trouve la même solution, à savoir \[x = \frac{1}{2}\ln\left(3 + \sqrt{10}\right).\]
Ces équations sont liées par l’identité \(\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1\). Quand on connaît \(\sinh(2x)\), on peut déduire \(\cosh(2x)\). Les solutions sont les mêmes car \(\sinh(x)\) et \(\cosh(x)\) sont liés.
Question 4
Tracer sur un même graphique les fonctions \(f(x) = \sinh(x)\) et \(g(x) = \cosh(x)\).
Solution.
Code
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# Création des donnéesx = np.linspace(-4, 4, 1000)sinh = np.sinh(x)cosh = np.cosh(x)# Création du graphiqueplt.figure(figsize=(8, 8))plt.plot(x, sinh, 'b-', label='sinh(x)')plt.plot(x, cosh, 'r-', label='cosh(x)')# Configuration du graphiqueplt.grid(True, alpha=0.3)plt.title('Fonctions hyperboliques')plt.xlabel('x')plt.ylabel('y')plt.legend()plt.axhline(y=0, color='k', linestyle='-', alpha=0.3)plt.axvline(x=0, color='k', linestyle='-', alpha=0.3)plt.show()
Démarche semblable à celle exigée à la question 2.
Nous avons que \[\begin{align}
\tanh(x) + \tanh(y) &= \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} + \frac{\sinh(y)}{\cosh(y)}\\
&= \frac{\sinh(x)\cosh(y) + \cosh(x)\sinh(y)}{\cosh(x)\cosh(y)}\\
&= \frac{\sinh(x+y)}{\cosh(x)\cosh(y)}\qquad\text{(d'après (a)).}
\end{align}\]
Question 6
Un câble pesant est suspendu entre deux points situés à une hauteur commune de 50 mètres et distants de 10 mètres. Le point le plus bas du câble est à 10 mètres sous les points de suspension. Trouvez l’équation de la chaînette passant par ces points. Remarques : vous pouvez supposer que la droite \(x=0\) est un axe de symétrie de la chaînette. Aussi, vous aurez besoin d’utiliser un logiciel pour calculer un des paramètres.
Solution. L’équation d’une chaînette est de la forme \(y = a \cosh(\frac{x}{a}) + k\). Les points de suspension sont en \((-5,50)\) et \((5,50)\) et le point le plus bas est en \((0,40)\). Ainsi, nous obtenons les équations \[\begin{align}
40 &= a \cosh(0) + k,\\
50 &= a \cosh(5/a) + k.
\end{align}\]\[\begin{align}
40 &= a + k,\\
50 &= a \cosh(5/a) + 40-a.
\end{align}\]
L’équation \(0 = a \cosh(5/a) + -2-a\) se résout numériquement (par exemple avec WolframAlpha). On trouve que \(a \approx 2{,}03\). On en déduit ensuite que \(k\approx 37{,}97\). Ainsi, l’équation de la chaînette est environ \[y = 2{,}03 \cosh\left(\frac{x}{2{,}03}\right) +37{,}97.\]
Code
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# Paramètresa =2.03k =37.97# Pointsx = np.linspace(-5, 5, 1000)y = a * np.cosh(x/a) + k# Graphiqueplt.figure(figsize=(8, 6))plt.plot(x, y, 'b-', label='Chaînette')plt.grid(True)plt.axis('equal')plt.title('Câble suspendu (chaînette)')plt.xlabel('x (m)')plt.ylabel('y (m)')plt.legend()plt.show()
La longueur du câble est donnée par : \(L = 2a \sinh(5/a) \approx 10{,}49\) mètres
Code source
---title: "Les fonctions hyperboliques"author: "Jérôme Soucy"---## Question 11. La fonction $\tanh x$ est définie par : $$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}.$$ Effectuez l'analyse de cette fonction afin de pouvoir esquisser son graphique. ::: solution```{python}import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# Création des données x = np.linspace(-4, 4, 1000) # Intervalle de -4 à 4 y = np.tanh(x)# Création de la figure plt.figure(figsize=(7.5, 6))# Tracé de la fonction plt.plot(x, y, 'b-', label='tanh(x)')# Ajout des asymptotes horizontales plt.axhline(y=1, color='r', linestyle='--', alpha=0.5, label='y = ±1') plt.axhline(y=-1, color='r', linestyle='--', alpha=0.5)# Ajout des axes plt.axhline(y=0, color='k', linestyle='-', alpha=0.3) plt.axvline(x=0, color='k', linestyle='-', alpha=0.3)# Configuration du graphique plt.grid(True, alpha=0.3) plt.title('Fonction tanh(x)') plt.xlabel('x') plt.ylabel('y') plt.legend()# Ajustement des limites plt.ylim(-1.5, 1.5) plt.show()``` :::2. Montrez que la fonction réciproque de $\tanh x$, notée $\text{arctanh}\,x$, peut s'exprimer par $$\text{arctanh}\,x = \ln \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}.$$ ::: solution Montrons que $\text{arctanh}\,x = \ln \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$. Posons $y = \text{arctanh}\,x$. Par définition, cela signifie que $x = \tanh y$. La fonction tanh est définie par : $$\tanh y = \frac{\sinh y}{\cosh y} = \frac{e^y - e^{-y}}{e^y + e^{-y}}.$$ Donc nous avons que $x = \dfrac{e^y - e^{-y}}{e^y + e^{-y}}$. Multiplions les deux membres par $(e^y + e^{-y})$ : $$x(e^y + e^{-y}) = e^y - e^{-y}.$$ Développons : $$xe^y + xe^{-y} = e^y - e^{-y}.$$ Regroupons les termes en $e^y$ et $e^{-y}$ : $$e^y(x-1) = e^{-y}(x+1).$$ Donc : $$\frac{e^y}{e^{-y}} = \frac{x+1}{1-x}.\qquad(x\neq 1)$$ Simplifions : $$e^{2y} = \frac{1+x}{1-x}.$$ Prenons le logarithme naturel des deux côtés : $$2y = \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right).$$ Donc : $$y = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) = \ln\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}.$$ Puisque $y = \text{arctanh}\,x$, nous avons bien $$\text{arctanh}\,x = \ln\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}.$$ :::3. Esquissez le graphique de $\text{arctanh}\,x$. ::: solution```{python}import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# Création des données x = np.linspace(-0.99, 0.99, 1000) # On évite -1 et 1 car arctanh non défini y = np.arctanh(x)# Création de la figure plt.figure(figsize=(8, 6))# Tracé de la fonction plt.plot(x, y, 'b-', label='arctanh(x)')# Ajout des axes plt.axhline(y=0, color='k', linestyle='-', alpha=0.3) plt.axvline(x=0, color='k', linestyle='-', alpha=0.3)# Ajout des asymptotes verticales plt.axvline(x=1, color='r', linestyle='--', alpha=0.5, label='x = ±1') plt.axvline(x=-1, color='r', linestyle='--', alpha=0.5)# Configuration du graphique plt.grid(True, alpha=0.3) plt.title('Fonction arctanh(x)') plt.xlabel('x') plt.ylabel('y') plt.legend()# Ajustement des limites pour mieux voir les asymptotes plt.ylim(-4, 4) plt.xlim(-1.1, 1.1) plt.show()``` :::## Question 2Exprimez $\cosh(x+y)$ en fonction de $\cosh x$, $\cosh y$, $\sinh x$ et $\sinh y$.::: solutionExprimons $\cosh(x+y)$ en fonction de $\cosh x$, $\cosh y$, $\sinh x$ et $\sinh y$. Rappelons que $\cosh(x+y)$ peut s'écrire en utilisant la forme exponentielle $$\cosh(x+y) = \frac{e^{x+y} + e^{-(x+y)}}{2}.$$ Développons $e^{x+y}$ et $e^{-(x+y)}$ : $$\cosh(x+y) = \frac{e^x e^y + e^{-x} e^{-y}}{2}.$$Rappelons les formules : $$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \quad \text{et} \quad \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}.$$ Donc : $$e^x = \cosh x + \sinh x \quad \text{et} \quad e^{-x} = \cosh x - \sinh x$$ Substituons ces expressions dans notre équation : $$\cosh(x+y) = \frac{(\cosh x + \sinh x)(\cosh y + \sinh y) + (\cosh x - \sinh x)(\cosh y - \sinh y)}{2}.$$ Développons les produits : \begin{align}\cosh(x+y) &= \frac{1}{2}\left(\cosh x \cosh y + \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y + \sinh x \sinh y + \cosh x \cosh y\right.\\&~\left.- \sinh x \cosh y - \cosh x \sinh y + \sinh x \sinh y\right).\end{align} Regroupons les termes semblables : $$\cosh(x+y) = \frac{2\cosh x \cosh y + 2\sinh x \sinh y}{2}$$ Simplifions : $$\cosh(x+y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y$$ Nous avons donc la formule cherchée : $\cosh(x+y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y$.:::## Question 31. Résolvez l'équation $\sinh(2x) = 3$.2. En déduire les solutions de l'équation $\cosh(2x) = \sqrt{10}$.3. Ces deux équations sont-elles liées ? Justifier votre réponse.::: solution1. Par définition, $$\sinh(2x) = \dfrac{e^{2x} - e^{-2x}}{2} = 3.$$ On en déduit que $e^{2x} - e^{-2x} = 6$. Posons $y = e^{2x}$. Ainsi, $y - \frac{1}{y} = 6$, d'où $y^2 - 6y - 1 = 0$. On en déduit que $$y = 3\pm \sqrt{10}.$$ Comme $e^{2x} > 0$, on déduit que $e^{2x} = 3 + \sqrt{10}$. En prenant le logarithme, on arrive à isoler $x$ pour obtenir $$x = \frac{1}{2}\ln\left(3 + \sqrt{10}\right).$$2. Utilisons l'identité $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$, valable pour toute valeur de $x$. Si $\sinh(2x) = 3$, alors $\cosh^2(2x) = 10$. Ainsi, $\cosh(2x) = \pm\sqrt{10}$. Comme $\cosh(x) \geq 1$ pour tout $x$, $\cosh(2x) = \sqrt{10}$. On trouve la même solution, à savoir $$x = \frac{1}{2}\ln\left(3 + \sqrt{10}\right).$$3. Ces équations sont liées par l'identité $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$. Quand on connaît $\sinh(2x)$, on peut déduire $\cosh(2x)$. Les solutions sont les mêmes car $\sinh(x)$ et $\cosh(x)$ sont liés.:::## Question 4Tracer sur un même graphique les fonctions $f(x) = \sinh(x)$ et $g(x) = \cosh(x)$.::: solution```{python}import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# Création des donnéesx = np.linspace(-4, 4, 1000)sinh = np.sinh(x)cosh = np.cosh(x)# Création du graphiqueplt.figure(figsize=(8, 8))plt.plot(x, sinh, 'b-', label='sinh(x)')plt.plot(x, cosh, 'r-', label='cosh(x)')# Configuration du graphiqueplt.grid(True, alpha=0.3)plt.title('Fonctions hyperboliques')plt.xlabel('x')plt.ylabel('y')plt.legend()plt.axhline(y=0, color='k', linestyle='-', alpha=0.3)plt.axvline(x=0, color='k', linestyle='-', alpha=0.3)plt.show()```**Analyse du graphique**1. La fonction $\sinh(x)$ : - Est impaire - Passe par l'origine - N'atteint pas de maximum ni de minimum2. La fonction $\cosh(x)$ : - Est paire - A un minimum de $1$ en $x = 0$ - Ne possède pas de maximum:::## Question 5Démontrer les identités suivantes :1. $\sinh(x+y) = \sinh(x)\cosh(y) + \cosh(x)\sinh(y)$2. $\tanh(x) + \tanh(y) = \frac{\sinh(x+y)}{\cosh(x)\cosh(y)}$::: solution1. Démarche semblable à celle exigée à la question 2.2. Nous avons que \begin{align} \tanh(x) + \tanh(y) &= \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} + \frac{\sinh(y)}{\cosh(y)}\\ &= \frac{\sinh(x)\cosh(y) + \cosh(x)\sinh(y)}{\cosh(x)\cosh(y)}\\ &= \frac{\sinh(x+y)}{\cosh(x)\cosh(y)}\qquad\text{(d'après (a)).} \end{align}:::## Question 6Un câble pesant est suspendu entre deux points situés à une hauteur commune de 50 mètres et distants de 10 mètres. Le point le plus bas du câble est à 10 mètres sous les points de suspension. Trouvez l'équation de la chaînette passant par ces points. Remarques : vous pouvez supposer que la droite $x=0$ est un axe de symétrie de la chaînette. Aussi, vous aurez besoin d'utiliser un logiciel pour calculer un des paramètres.::: solutionL'équation d'une chaînette est de la forme $y = a \cosh(\frac{x}{a}) + k$. Les points de suspension sont en $(-5,50)$ et $(5,50)$ et le point le plus bas est en $(0,40)$. Ainsi, nous obtenons les équations \begin{align}40 &= a \cosh(0) + k,\\50 &= a \cosh(5/a) + k.\end{align} \begin{align}40 &= a + k,\\50 &= a \cosh(5/a) + 40-a.\end{align}L'équation $0 = a \cosh(5/a) + -2-a$ se résout numériquement (par exemple avec WolframAlpha). On trouve que $a \approx 2{,}03$. On en déduit ensuite que $k\approx 37{,}97$. Ainsi, l'équation de la chaînette est environ $$y = 2{,}03 \cosh\left(\frac{x}{2{,}03}\right) +37{,}97.$$```{python}import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# Paramètresa =2.03k =37.97# Pointsx = np.linspace(-5, 5, 1000)y = a * np.cosh(x/a) + k# Graphiqueplt.figure(figsize=(8, 6))plt.plot(x, y, 'b-', label='Chaînette')plt.grid(True)plt.axis('equal')plt.title('Câble suspendu (chaînette)')plt.xlabel('x (m)')plt.ylabel('y (m)')plt.legend()plt.show()```::: hiddenb) La longueur du câble est donnée par : $L = 2a \sinh(5/a) \approx 10{,}49$ mètres::::::
