Un ballon est lancé verticalement vers le haut avec une vitesse initiale de 10 m/s. En tenant compte de la résistance de l’air, sa hauteur (en mètres) après \(t\) secondes est donnée par la fonction :
\[h(t) = 50\ln(\cosh(0.2t)) + 10t - 4.9t^2\]
À quel moment le ballon atteint-il son altitude maximale ?
Commençons par visualiser la hauteur du ballon en fonction du temps :
library(ggplot2)
library(dplyr)
# Fonction hauteur
h <- function(t) {
50 * log(cosh(0.2 * t)) + 10 * t - 4.9 * t^2
}
# Création des données
t_vals <- seq(0, 3, by = 0.01)
height_data <- data.frame(
t = t_vals,
height = sapply(t_vals, h)
)
# Graphique
ggplot(height_data, aes(x = t, y = height)) +
geom_line(color = "blue", size = 1) +
labs(x = "Temps (s)", y = "Hauteur (m)") +
theme_minimal() +
ggtitle("Trajectoire du ballon")
La vitesse est la dérivée de la hauteur. Pour trouver le point culminant, nous devons trouver quand la vitesse est nulle.
\[v(t) = h'(t) = 10\tanh(0.2t) + 10 - 9.8t\]
Visualisons la vitesse :
# Fonction vitesse
v <- function(t) {
10 * tanh(0.2 * t) + 10 - 9.8 * t
}
# Création des données
velocity_data <- data.frame(
t = t_vals,
velocity = sapply(t_vals, v)
)
# Graphique
ggplot(velocity_data, aes(x = t, y = velocity)) +
geom_line(color = "red", size = 1) +
geom_hline(yintercept = 0, linetype = "dashed") +
labs(x = "Temps (s)", y = "Vitesse (m/s)") +
theme_minimal() +
ggtitle("Vitesse du ballon")
Pour trouver quand la vitesse est nulle, nous devons résoudre : \[f(t) = 10\tanh(0.2t) + 10 - 9.8t = 0\]
La dérivée de cette fonction est : \[f'(t) = 2\,\text{sech}^2(0.2t) - 9.8\]
Implémentons la méthode de Newton-Raphson :
# Fonction f(t) et sa dérivée
f <- function(t) {
10 * tanh(0.2 * t) + 10 - 9.8 * t
}
f_prime <- function(t) {
2 * (1 / cosh(0.2 * t))^2 - 9.8
}
# Fonction Newton-Raphson
newton_raphson <- function(x0, tolerance = 1e-6, max_iter = 100) {
x <- x0
iterations <- data.frame(
iteration = 0,
x = x0,
f_x = f(x0)
)
for (i in 1:max_iter) {
x_new <- x - f(x) / f_prime(x)
iterations <- rbind(iterations,
data.frame(iteration = i,
x = x_new,
f_x = f(x_new)))
if (abs(x_new - x) < tolerance) {
break
}
x <- x_new
}
return(iterations)
}
# Application avec x0 = 1
resultats <- newton_raphson(1)
# Affichage des résultats
knitr::kable(resultats,
col.names = c("Itération", "t (secondes)", "f(t)"),
digits = 6,
caption = "Résultats de la méthode de Newton-Raphson")| Itération | t (secondes) | f(t) |
|---|---|---|
| 0 | 1.000000 | 2.173753 |
| 1 | 1.275930 | -0.006241 |
| 2 | 1.275143 | 0.000000 |
| 3 | 1.275143 | 0.000000 |
Visualisons la convergence sur le graphique de la vitesse :
# Filtrer les données pour l'intervalle [1, 1.5]
velocity_data_zoom <- velocity_data %>%
filter(t >= 1 & t <= 1.5)
# Ajout des points d'itération au graphique de vitesse avec zoom
ggplot(velocity_data_zoom, aes(x = t, y = velocity)) +
geom_line(color = "red", size = 1) +
geom_hline(yintercept = 0, linetype = "dashed") +
geom_point(data = resultats,
aes(x = x, y = f_x),
color = "blue",
size = 3) +
geom_path(data = resultats,
aes(x = x, y = f_x),
color = "blue",
arrow = arrow(length = unit(0.2, "cm")),
size = 0.5) +
labs(x = "Temps (s)", y = "Vitesse (m/s)") +
scale_x_continuous(limits = c(1, 1.5),
breaks = seq(1, 1.5, 0.1)) +
theme_minimal() +
ggtitle("Convergence de la méthode de Newton-Raphson (zoom)") +
theme(axis.text = element_text(size = 10),
axis.title = element_text(size = 12))
La méthode de Newton-Raphson converge rapidement vers la solution : le ballon atteint son altitude maximale après environ 1.275 secondes.
À cet instant, l’altitude du ballon est de 6.39 mètres.